选举：一道政治数学题

到了20世纪50年代，斯坦福大学的经济学家肯尼斯·阿罗以严密的数学推理为工具再次对选举问题进行深入研究，他首先设置了一系列理性的投票系统应该满足的前提条件，然后用数学证明只要候选人超过两个，就没有一种投票方法能够满足这些条件。所以设计一种选举机制就是矮子里面拔将军，选择不完美里面缺陷最少的。

1972年，瑞典皇家科学院授予阿罗诺贝尔经济学奖时称他的结果：“非常令人沮丧，对于完美的民主之梦来说是个打击。”有人甚至说“民主世界从此改变了，”不过阿罗的不可能定理公布后，民主制度还是不断向世界各地扩展。

阿罗的定理有一个适用条件，也就是给候选人排序，如果给候选人打分呢，情况又不相同。实际上“票多者胜”就是一种粗略的给候选人排序的方法。打分法有很多优点，现在在互联网上使用的非常普遍，比如给菜馆、电影、书、文章等打分。这种方法同样可以转换到选举上，可以计算每个候选人得了多少星，得星最多的人胜出。

这种方法被称为“范围投票”，可以追溯到19世纪的拉普拉斯，也与古希腊斯巴达人的欢呼法异曲同工。斯巴达人在选举中越喜欢一个人，就越用劲拍击矛和盾，获得呼声最高的人获胜。最近巴黎的两位数学家采用熟悉的语言而不是打分法来评定候选人，比如“优秀”“非常好”“不错”“差不多”“坏”，用评价葡萄酒的语言，来评判政治家。

最近流行的选举方法除了“范围投票”之外还有一种“赞成投票”，即选民不必选出最喜欢的候选人，可以多选。13世纪晚期的教皇选举开始使用“赞成投票”法，不过到了1621年被废弃了，因为把这种方法和圣灵的2/3原则结合在一起太麻烦了。“赞成投票”在20世纪70年代得到了复兴，美国一些数学家和政治学家不约而同地都推举此法。美国数学学会和美国数学协会的内部选举都采用“赞成投票”制。

虽然阿罗的不可能定理不适用于“范围投票”和“赞成投票”，但是这不意味它们就不存在隐藏的症结和无解的悖论。“范围投票”和“赞成投票”都有可能出现前面提到的分票现象。比如“范围投票”，所有人都给自己打五星，给传达室的老大爷打三星，给其他人打一星。最后，传达室老大爷胜出。 

虽然选举是个数学题，但是某种投票方式是否管用，取决于人民如何运用手中的选票，如果他们漫不经心随随便便，就会造成灾难。在采纳“赞成投票”的国家，各政党会较少攻击他们的对手，以减少对手支持者的敌意，批评家担心这会便宜了谁也不得罪的乏味政客，但是支持者认为，这样的中间投机者会弄巧成拙，广泛的吸引力和鲜明的立场并不是相互排斥的。

选举当然不是纯粹的数学题，纯技术层面的讨论不可能考虑到选民的多样性和地域的复杂性。虽然很多投票方法都比“票多者胜”更好，但是想象有一种适合所有情况的选举制度也是不现实的：一个年轻的非洲共和国的立法机构选举、大西洋一个小岛上的总统选举、新英格兰小镇校长的选举和一个被内战撕裂的国家议会的选举不能适用同一种投票方法。如果“票多者胜”是一种糟糕的选举制度，一刀切则是更坏的政治态度。

数学可以建议什么样的选举方法值得尝试，但是并不能揭示它一定会适合特定的国家和机构。我们对投票体系的期待是：创造出对人民来说合法的政府，不管是输是赢，都要让人觉得这游戏是公平的。